Lý thuyết phép nhân và phép chia số nguyên toán 6

1. Phép nhân hai số nguyên

1.1 Phép nhân hai số nguyên khác dấu

- Quy tắc nhân hai số nguyên khác dấu: 

+ Tích hai số nguyên khác dấu luôn luôn là một số nguyên âm.

+ Khi nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân số dương với số đối của số âm rồi thêm dấu (-) trước kết quả nhận được.

- Chú ý: Cho hai số nguyên dương a và b, ta có: 

• (+a).(-b) = -a.b
• (-a).(+b)= -a.b

1.2 Phép nhân hai số nguyên cùng dấu 

- Quy tắc nhân hai số nguyên cùng dấu: 

+ Khi nhân hai số nguyên cùng dương, ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên; 

+ Khi nhân hai số nguyên âm, ta nhân hai số đối cảu chúng.

- Chú ý: 

• Cho hai số nguyên dương a và b, ta có (-a).(-b) = (+a).(+b) = a.b
• Tích của hai số nguyên cùng dấu luôn luôn là một số nguyên dương. 

1.3 Tính chất của phép nhân các số nguyên

a) Tính chất giao hoán

- Phép nhân hai số nguyên có tính chất giao hoán: a.b = b.a

- Chú ý: 

• a.1 = 1.a = a
• a.0 = 0.a = 0

b) Tính chất kết hợp

- Phép nhân các số nguyên có tính chất kết hợp: (a.b).c = a.(b.c)

- Chú ý: Áp dụng tính chất kết hợp của phép nhân, ta có thể viết tích của nhiều số nguyên

a.b.c = a.(b.c) = (a.b).c

c) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

- Phép nhân số nguyên có tính chất phân phối đối với phép cộng: 

a(b + c) = ab + ac

- Phép nhân số nguyên cũng có tính chất phân phối đối với phép trừ: 

a(b - c) = ab - ac

2. Phép chia hai số nguyên 

- Cho a, b  $\large \in \mathbb{Z} $ và  $\large b\neq 0 $. Nếu có số nguyên q sao cho a = b.q thì: 

• Ta nói a chia hết cho b, kí hiệu à a $\large \vdots $ q; 
• Trong phép chia hết, dấu của thương hai số nguyên cũng giống như dấu của tích

=> Ta gọi q là thương của phép chia a cho b, kí hiệu là a : b = q

- Cho a, b $\large \in \mathbb{Z} $. Nếu a $\large \vdots $ b thì ta nói a là bội của b và b là ước của a. 

>> Xem thêm: Tổng hợp kiến thức toán 6 chi tiết SGK mới

3. Bài tập phép nhân và phép chia số nguyên toán 6

3.1 Bài tập phép nhân và phép chia số nguyên toán 6 kết nối tri thức

Bài 3.32 trang 72 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) 24.(-25) = - (24. 25) = - 600.

b) (-15).12 = - (15. 12) = - 180.

Bài 3.33 trang 72 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) (-298).(-4) = 298. 4 = 1 192.

b) (-10).(-135) = 10. 135 = 1 350.

Bài 3.34 trang 72 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) Ta thấy tích của hai số cùng mang dấu âm sẽ mang dấu dương. Do đó tích của số chẵn các thừa số mang dấu âm sẽ mang dấu dương. Vì thế tích của ba thừa số mang dấu âm sẽ mang dấu âm.

Vậy tích của ba thừa số mang dấu âm, các thừa số khác đều dương sẽ mang dấu âm.

b) Tích của bốn thừa số mang dấu âm (vì có số chẵn các thừa số mang dấu âm) sẽ mang dấu dương.

Vậy tích của bốn thừa số mang dấu âm, các thừa số khác đều dương sẽ mang dấu dương.

Bài 3.35 trang 72 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) 4. (1930 + 2019) + 4. (-2019) 

= 4. (1930 + 2 019 - 2019) = 4. (1930 + 0)

= 4. 1930 = 7720

b) (-3). (-17) + 3. (120 - 17) 

= 3.17 + 3. (120 - 17) = 3. (17 + 120 - 17) 

= 3. (17 – 17 + 120) = 3. (0 + 120)

= 3. 120 = 360.

Bài 3.36 trang 72 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

Vì tích của hai số tự nhiên n và m là 36 nên m.n = 36 (1)

Ta có: n.(-m) = - (n.m) = - (m.n) = -36 (vì m.n = 36 theo (1))

(- n).(- m) = n.m = m.n = 36 (theo (1))

Vậy n.(-m) = - 36; (-n).(-m) = 36.

Bài 3.37 trang 72 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) (- 8).72 + 8.(-19) - (-8) 

= (- 8).72 + (- 8).19 + 8

= (- 8).72 + (- 8). 19 + (- 8). (- 1)

= (-8).[72 + 19 + (- 1)] 

= (- 8).(72 + 19 – 1)

= (- 8).90 = - (8.90) = - 720.

b) (- 27).1 011 -  27.(-12) + 27.(-1) 

= 27.(-1 011) – 27.(-12) + 27.(-1) 

= 27.(-1 011 + 12 - 1) = 27.(-1 000) 

= - (27.1 000) = - 27 000.

Bài 3.38 trang 72 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

Số điểm của An là: 

10.1 + 2.7 + 1.(- 1) + 1.(- 3) = 20

Số điểm của Bình là: 

 2.10 + 1.3 + 2.(- 3) = 17

Số điểm của Cường là:  

3.7 + 1.3 + 1.(-1) = 23

Vì 17 < 20 < 23 nên bạn Cường đạt điểm cao nhất

Vậy bạn Cường đạt điểm cao nhất.

Bài 3.39 trang 74 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) 297 : (-3) = - (297 : 3) = - 99

b) (-396) : (-12) = 396 : 12 = 33

c) (-600) : 15 = - (600 : 15) = - 40.

Bài 3.40 trang 74 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) * Tìm các ước của 30:

Ta có: 30 = 2.3.5

Các ước nguyên dương của 30 là: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30

Do đó tất cả các ước của 30 là:  -30; -15; -10; -6; -5; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30

* Tìm các ước của 42:

Ta có: 42 = 2. 3. 7

Các ước nguyên dương của 42 là: 1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42

Do đó tất cả các ước của 42 là: -42; -21; -14; -7; -6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42

* Tìm các ước của – 50:

Ta có 50 = 2.52

Các ước nguyên dương của 50 là: 1; 2; 5; 10; 25; 50

Do đó tất cả các ước của - 50 là: -50; -25; -10; -5; -2; -1; 1; 2; 5; 10; 25; 50

b) Các ước chung nguyên dương của 30 và 42 là: 1; 2; 3; 6

Do đó các ước chung của 30 và 42 là:  -6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6. 

Bài 3.41 trang 74 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

Vì x là số nguyên chia hết cho 4 nên x là bội của 4.

Lần lượt nhân 4 với 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6… ta được các bội dương của 4 là: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24;…

Do đó các bội của 4 là: …; -24; -20; -16; -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24

Mà các bội của 4 lớn hơn hoặc bằng - 16 và nhỏ hơn 20 là -16; -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16

Vậy M = {-16; -12; -8; -4; 0; 4; 8; 12; 16}.

Bài 3.42 trang 74 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

Ta có: 15 = 3. 5

Các ước nguyên dương của 15 là: 1; 3; 5; 15

Do đó tất cả các ước của 15 là: -15; -5; -3; -1; 1; 3; 5; 15

Nhận thấy: (- 5) + 1 = - (5 – 1) = - 4; (-1) + (- 3) = - (1 + 3) = - 4

Vậy hai ước có tổng bằng 4 là – 5 và 1 hoặc – 1 và – 3.

Bài 3.43 trang 74 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

Giả sử a và b là hai số nguyên cùng chia hết cho -3. Khi đó có hai số nguyên p và q sao cho a = (- 3).p và b = (- 3). q.

+) Ta có: a + b = (-3). p + (- 3). q = (-3). (p + q)

Vì (- 3) ⁝ (- 3) nên (-3). (p + q) ⁝ (- 3) hay (a + b) ⁝ (- 3)

 +) Ta có: a - b = (-3). p - (- 3). q = (-3). (p - q) 

Vì (- 3) ⁝ (- 3) nên (-3). (p - q) ⁝ (- 3) hay (a - b) ⁝ (- 3)

Vậy nếu hai số cùng chia hết cho – 3 thì tổng và hiệu của hai số đó cũng chia hết cho – 3.

Tổng quát: Nếu hai số nguyên cùng chia hết cho một số nguyên c (c   0) thì tổng (hay hiệu) của chúng cũng chia hết cho c.

Ta có thể chứng minh kết luận trên như sau:

Giả sử a ⁝ c và b ⁝ c có nghĩa là a = cp và b = cq (với p, q  ).

Suy ra a + b = cp + cq = c. (p + q).

Vì c ⁝ c nên [c. (p + q)] ⁝ c

Vậy (a + b) ⁝ c.

Khóa học DUO cung cấp cho các em nền tảng kiến thức vững chắc, bứt phá điểm 9+ trong mọi bài kiểm tra trên lớp.

3.2 Bài tập phép nhân và phép chia số nguyên toán 6 chân trời sáng tạo 

Bài 1 trang 70 sgk toán 6 chân trời sáng tạo

a) (-3).7 = - (3 . 7) = - 21;

b) (-8).(-6) = 8 . 6 = 48;

c) (+12).(-20) = - (12 . 20) = -240;

d) 24.(+50) = 24 . 50 = 1 200.

Bài 2 trang 70 sgk toán 6 chân trời sáng tạo

Ta có: 213.3 = 639

Từ đó suy ra: 

a) (- 213).3 = - 639;

b) (- 3).213 = - 639;

c) (- 3).(- 213) = 639.

Bài 3 trang 70 sgk toán 6 chân trời sáng tạo

a) Vì (+4).(- 8) ra kết quả mang dấu âm. Do đó (+4).(- 8) < 0.

b) Vì (- 3).4 ra kết quả mang dấu âm mà 4 là số nguyên dương. Do đó (- 3).4 < 4.

c) Vì (- 5) (- 8) và (+5).(+8) ra kết quả mang giá trị dương và đều bằng 5 . 8 

Do đó (- 5).(- 8) = (+5).(+8).

Bài 4 trang 70 sgk toán 6 chân trời sáng tạo

a) (- 3).(- 2) .(- 5) .4 = [(-3).4)].[(-2).(-5)] = (-12).10 =  -120.

b) 3.2.(- 8).(- 5) = [3.(-8)].[2.(-5)] = (-24).(-10) = 240.

Bài 5 trang 70 sgk toán 6 chân trời sáng tạo

Cứ mỗi phút giảm 2⁰C

Sau 5 phút nhiệt độ giảm: 5.2 = 10⁰C

Vậy: Sau 5 phút nữa nhiệt độ trong kho là: 8 – 10 =  -2⁰C.

Bài 6 trang 70 sgk toán 6 chân trời sáng tạo

Nhiệt độ bên ngoài trung bình mỗi phút tăng lên  4⁰C.

Sau 10 phút nữa nhiệt độ tăng: 4.10 = 40⁰C.

Vậy: Sau 10 phút nữa nhiệt độ bên ngoài máy bay là:  - 28 + 40 = 12⁰C.

Bài 7 trang 70 sgk toán 6 chân trời sáng tạo

a) (- 24).x = - 120

x = (- 120):(- 24) 

x = 5

Vậy x = 5.

b) 6.x = 24

x = 24:6

x = 4

Vậy x = 4.

Bài 8 trang 70 sgk toán 6 chân trời sáng tạo

Vì  a ⋮ b và b ⋮ a. 

Vì a chia hết cho b nên a là bội của b mà b cũng chia hết cho a nên b là bội của a.

Suy ra a = b hoặc a = -b (a, b ≠ 0)

Mà a và b là hai số nguyên khác nhau  nên a = - b hay a và b là số đối của nhau.

Bài 9 trang 70 sgk toán 6 chân trời sáng tạo

+) Ta thấy 6 chia hết cho các số: 1; 2; 3; 6; -1; -2; -3; -6.

Vậy Ư(6) = {1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6}

+) Ta thấy -1 chia hết cho 1; -1.

Vậy Ư(-1) = {1; -1}

+) Ta có 13 chia hết cho 1; -1; 13 và -13.

Vậy Ư(13) = {1; -1; 13; -13}

+) Ta thấy -25 chia hết cho 1; -1; 5; -5; 25; -25.

Vậy Ư(-25) = {1; -1; 5; -5; 25; -25}

Bài 10 trang 70 sgk toán 6 chân trời sáng tạo

Ta nhân 5 với các số tự niên 0; 1; 2; 3; …

Suy ra B(5) = {0; 5; 25;…}.

Ta nhân -5 với các số tự nhiên 0; 1; 2; 3; …

Suy ra B(-5) = {0;  -5; -25;…}

Bài 11 trang 70 sgk toán 6 chân trời sáng tạo

Sau 7 ngày nhiệt độ thay đổi: (– 39) – (–25) = – 39 + 25  = -14⁰C

Do đó sau 7 ngày nhiệt độ giảm 14⁰C.

Trung bình mỗi ngày nhiệt độ giảm: 14 : 7 = 2⁰C 

Hay nhiệt độ trung bình mỗi ngày thay đổi -2⁰C

Vậy trung bình mỗi ngày nhiệt độ thay đổi -2⁰C.

Bài 12 trang 70 sgk toán 6 chân trời sáng tạo

Ta có: Một quý sẽ gồm có 3 tháng.

Trong một tháng số tiền lãi của bác Ba: 60:3 = 20 (triệu đồng)

Trong một tháng số tiền lỗ của bác Tư: 12:3 = 4 (triệu đồng)

Vậy bình quân trong một tháng số tiền lãi/lỗ của mỗi người là:

Bác Ba lãi: 20 triệu đồng (Có 20 triệu đồng).

Bác Tư lỗ: 4 triệu đồng (Có - 4 triệu đồng).

3.3 Bài tập phép nhân và phép chia số nguyên toán 6 cánh diều 

A. Bài tập phép nhân số nguyên

Bài 1 trang 82 sgk toán 6/1 cánh diều

a) 21 . (– 3) = – (21 . 3) = – 63. 

b) (– 16) . 5 = – (16 . 5) = – 80.

c) 12 . 20 = 240.

d) (– 21) . (– 6) = 21 . 6 = 126. 

Bài 2 trang 82 sgk toán 6/1 cánh diều

a	15	-3	11	-4	-3	-9
b	6	14	-23	-125	7	-8
a.b	90	-42	-253	500	-21	72

Bài 3 trang 83 sgk toán 6/1 cánh diều

a) 10¹⁰ . (– 10⁴) = – (10¹⁰ . 10⁴) = – (10^{10 + 4})  = – 10¹⁴. 

b) (– 2) . (– 2) . (– 2) . (– 2) . (– 2) + 2⁵

= – (2 . 2 . 2 . 2 . 2) + 2⁵ 

= [– (2)⁵] + 2⁵ = 2⁵ – 2⁵ = 0. 

c) (– 3) . (– 3) . (– 3) . (– 3) – 3⁴.

= 3 . 3 . 3. 3 – 3⁴ = 3⁴ – 3⁴ = 0. 

Bài 4 trang 83 sgk toán 6/1 cánh diều

Ta có: 8 . 25 = 200 

Do đó ta suy ra được: 

a) (– 8) . 25 = – (8 . 25) = – 200;

b) 8 . (– 25) = – (8 . 25) = – 200;

c) (– 8) . (– 25) = 8 . 25 = 200.

Bài 5 trang 83 sgk toán 6/1 cánh diều

a) Với x = – 8 thì ta có: 

2x = 2 . (– 8) = – (2 . 8) = – 16.

b) Với y = 6 thì ta có:

– 7y = (– 7) . 6 = – (7 . 6) = – 42. 

c) Với z = – 4 thì ta có: 

– 8z – 15 = (– 8) . (– 4) – 15 = 8 . 4 – 15 = 32 – 15 = 17. 

Bài 6 trang 83 sgk toán 6/1 cánh diều

a) Ta có: 3 . (– 5) = – (3 . 5) = – 15 < 0 

b) Ta có: (– 3) . (– 7) = 3 . 7 = 21 > 0

c) Ta có: (– 6) . 7 = – (6 . 7) = – 42 < 0

(– 5) . (– 2) = 5 . 2 = 10 > 0

Do đó: – 42 < 10 

Bài 7 trang 83 sgk toán 6/1 cánh diều

a) (– 16) . (– 7) . 5 = [(– 16) . 5] . (– 7)  

= [– (16 . 5)] . (– 7) = (– 80) . (– 7)

= 80 . 7 = 560. 

b) 11 . (– 12) + 11 . (– 18) = 11 . [(– 12) + (– 18)]   

= 11 . [– (12 + 18)] = 11 . (– 30) 

= – (11 . 30) = – 330.  

c) 87 . (– 19) – 37 . (– 19) = (– 19) . (87 – 37)     

= (– 19) . 50 = – (19 . 50) = – 950. 

d) 41 . 81 . (– 451) . 0 = 0.  

Bài 8 trang 83 sgk toán 6/1 cánh diều

a) âm 

b) dương

c) dương

d) âm 

Bài 9 trang 83 sgk toán 6/1 cánh diều

Mỗi quý có 3 tháng nên lợi nhuận của công ty Ánh Dương trong 6 tháng đầu năm là: 

(– 30) . 3 + 70 . 3 = 3 . [(– 30) + 70] = 120 (triệu đồng)

Vậy sau 6 tháng đầu năm, lợi nhuận của công ty Ánh Dương là 120 triệu đồng. 

Bài 10 trang 83 sgk toán 6/1 cánh diều

Sử dụng máy tính bỏ túi, ta tính được:

23 . (– 49) = – 1 127; 

(– 215) . 207 = – 44 505;  

(– 124) . (– 1 023) = 126 852.

B. Bài tập phép chia số nguyên

Bài 1 trang 87 sgk toán 6/1 cánh diều

a) (– 45) : 5 = – (45 : 5) = – 9. 

b) 56 : (– 7) = – (56 : 7) = – 8.

c) 75 : 25 = 3.

d) (– 207) : (– 9) = 207 : 9 = 23.

Bài 2 trang 87 sgk toán 6/1 cánh diều

a) Ta có: 36 : (– 6) = – (36 : 6) = – 6 < 0 

Vậy 36 : (– 6) < 0.

b) Ta có: (– 15) : (– 3) = 15 : 3 = 5 > 0

(– 63) : 7 = – (63 : 7) = – 9 < 0

Do đó: 5 > – 9

Vậy (– 15) : (– 3) > (– 63) : 7. 

Bài 3 trang 87 sgk toán 6/1 cánh diều

a) (– 3) . x = 36 

 $\large \Rightarrow  $ x = 36 : (– 3) 

 $\large \Rightarrow  $ x = – (36 : 3) 

 $\large \Rightarrow  $ x = – 12. 

Vậy x = – 12. 

b) (– 100) : (x + 5) = – 5

 $\large \Rightarrow  $ x + 5 = (– 100) : (– 5) 

 $\large \Rightarrow  $ x + 5 = 100 : 5

 $\large \Rightarrow  $ x + 5 = 20 

 $\large \Rightarrow  $ x = 20 – 5 

 $\large \Rightarrow  $ x = 15. 

Vậy x = 15. 

Bài 4 trang 87 sgk toán 6/1 cánh diều

Nhiệt độ trung bình lúc 8 giờ sáng của 5 ngày đó là: 

[(– 6) + (– 5) + (– 4) + 2 + 3] : 5 = (– 10) : 5 = – 2 (°C)

Vậy nhiệt độ trung bình lúc 8 giờ sáng của 5 ngày liên tiếp đã cho là – 2 °C. 

Bài 5 trang 87 sgk toán 6/1 cánh diều

a) Ta có: – 36 = (– 9) . 4 hay (– 36) : (– 9) = 4 

Do đó: – 36 chia hết cho – 9. 

Vậy phát biểu a) đúng. 

b) Ta có: – 18 = 5 . (– 3) + (– 3) 

Do đó – 18 không chia hết cho 5. 

Vậy phát biểu b) là sai. 

Bài 6 trang 87 sgk toán 6/1 cánh diều

a) Vì 4 chia hết cho x nên x là các ước của 4 

Mà các ước của 4 là: – 1; 1; – 2; 2; – 4; 4 

Vậy các số nguyên x thỏa mãn yêu cầu là: – 1; 1; – 2; 2; – 4; 4.

b) Vì – 13 chia hết cho x + 2 nên x + 2 là ước của – 13

Mà các ước của – 13 là: – 1; 1; 13; – 13

Nên ta có các trường hợp sau:

TH1: x + 2 = – 1  x = – 1 – 2 = – 3 (tm)

TH2: x + 2 = 1  x = 1 – 2 = – 1 (tm)

TH3: x + 2 = 13  x = 13 – 2 = 11 (tm)

TH4: x + 2 = – 13  x = – 13 – 2 = – 15 (tm)

Vậy các số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán là: – 3; – 1; 11; – 15.

 

 

Trên đây là bài học Lý thuyết phép nhân và phép chia số nguyên toán 6, qua bài học này, hy vọng các em vận dụng được kiến thức cách thực hiện phép tính nhân chia để vận dụng giải các bài tập liên quan. Để làm quen với chương trình toán 6, các em có thể tham khảo khóa học DUO của nhà trường VUIHOC, học online cùng các thầy cô và xây dựng lộ trình học cá nhân ngay từ sớm nhé!  

>> Mời bạn tham khảo thêm: 

• Bội chung và bội chung nhỏ nhất
• Tập hợp các số nguyên
• Phép cộng và phép trừ số nguyên