Lý thuyết ước chung và ước chung lớn nhất toán 6

1. Ước chung và ước chung lớn nhất 

1.1 Ước chung

- Một số được gọi là ước chung của hai hay nhiều số nếu nó là ước của tất cả ác số đó. 

- Tập hợp các ước chung của hai số a và b kí hiệu là ƯC(a,b)

 $\large x\in $ ƯC(a,b) nếu a  $\large \vdots $ x và b  $\large \vdots $ x.

- Tương tự, tập hợp các ước chung của a, b, c kí hiệu là ƯC(a, b, c)

 $\large x\in $ ƯC(a,b,c) nếu a  $\large \vdots $ x; b  $\large \vdots $ x và c  $\large \vdots $ x

- Cách tìm ước chung của hai số a và b: 

+ Viết tập hợp các ước củ a và ước của b: Ư(a), Ư(b).

+ Tìm những phần tử chung của Ư(a) và Ư(b)

- Ví dụ: Ư(8) = {1; 2; 4; 8}

Ư(12) = {1; 2; 4; 6; 12}

=> ƯC(8;12) = {1; 2; 4}

1.2 Ước chung lớn nhất

- Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. 

- Kí hiệu ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a,b), tương tự ước chung lớn nhất của a, b, c là ƯCLN(a,b,c). 

- Tất cả các ước chung của hai hay nhiều số điều là ước của ƯCLN của các số đó.

- Với mọi số tự nhiên a và b ta có: ƯCNL(a,1) = 1 ; ƯCNL(a,b,1) = 1

2. Tìm ƯCNL bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

- Quy tắc: Muốn tìm ƯCNL của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện 3 bước sau: 

+ Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố; 

+ Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung; 

+ Bước 3: Lập tích các thừa số nguyên tố đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. 

=> Tích đó là ƯCNL phải tìm.

- Ví dụ: Tìm ƯCNL của 24 và 60

+ Bước 1: Phân tích 12 và 8 ra thừa số nguyên tố: 24 = 2.2.2.3 = 2³.3; 60 = 2.2.3.5 = 2².3.5

+ Bước 2: Các thừa số nguyên tố chung là 2² và 3

+ Bước 3: Lập tích 2².3 = 12

Vậy ƯCNL(24;60) = 12

- Hai số có ƯCNL bằng 1 gọi là hai số nguyên tố cùng nhau. 

3. Ứng dụng ƯCNL trong rút gọn phân số

- Ta rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu của phân số đó cho một ước chung khác 1 (nếu có). 

- Phân số  $\large \frac{a}{b}$ được gọi là phân số tối giản nếu a và b không có ước chung nào khác 1, nghĩa là ƯCNL(a,b) = 1. 

- Để đưa một phân số chưa tối giản $\large \frac{a}{b}$ về phân số tối giản, ta chia cả tử và mẫu cho ƯCNL(a,b). 

- Ví dụ: Rút gọn phân số a)  $\large \frac{7}{5}$ và b)  $\large \frac{24}{60}$

Lời giải: 

a) Ta có ƯCNL(7,5) = 1, nên $\large \frac{7}{5}$ là phân số tối giản. 

b) Ta có ƯCNL(24,60) = 12 nên $\large \frac{24}{60}$ không phải là phân số tối giản

 $\large \rightarrow \frac{24}{60}=\frac{24:12}{60:12}=\frac{2}{5}$

Ta được phân số tối giản của $\large \frac{24}{60}$ là $\large \frac{2}{5}$

>> Xem thêm: Tổng hợp kiến thức toán 6 chi tiết SGK mới

4. Bài tập vận dụng ước chung và ước chung lớn nhất toán 6

4.1 Bài tập toán 6 kết nối tri thức

Bài 2.30 trang 48 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) Phân tích các số 30 và 45 ra thừa số nguyên tố:

30 = 2.3.5;           45 = 3².5

+) Thừa số nguyên tố chung là: 3 và 5.

+) Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1, số mũ nhỏ nhất của 5 là 1. 

=> ƯCLN(30, 45) = 3.5 = 15. Ta được ƯC(30; 45) = Ư(15) = {1; 3; 5; 15}

Vậy ƯC(30; 45) = {1; 3; 5; 15}.

b) Phân tích các số 42 và 70 ra thừa số nguyên tố:

42 = 2.3.7;           70 = 2.5.7;

+) Thừa số nguyên tố chung là: 2 và 7.

+) Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 7 là 1. 

=> ƯCLN(42, 70) = 2.7 = 14. Ta được ƯC(42; 70) = Ư(14) = {1; 2; 7; 14}

Vậy ƯC(42; 70) = {1; 2; 7; 14}.

Bài 2.31 trang 48 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) Phân tích các số 40 và 70 ra thừa số nguyên tố ta được:

40 = 2³.5;                             70 = 2.5.7

Ta thấy 2 và 5 là các thừa số nguyên tố chung của 40 và 70. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 5 là 1 nên ƯCLN(40, 70) = 2. 5 = 10

Vậy ƯCLN(40, 70) = 10.

b) Phân tích các số 55 và 77 ra thừa số nguyên tố ta được:

55 = 5. 11;                              77 = 7. 11                          

Ta thấy 11 thừa số nguyên tố chung của 55 và 77. Số mũ nhỏ nhất của 11 là 1 nên ƯCLN(55, 77) = 11

Vậy ƯCLN(40, 70) = 11.

Bài 2.32 trang 48 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) 2².5 và 2. 3. 5

- Thừa số nguyên tố chung là 2 và 5 => ƯCLN cần tìm là 2.5 = 10.

b) 2⁴.3; 2².3².5  và 2⁴.11

- Thừa số nguyên tố chung là 2²  => ƯCLN cần tìm là 2² = 4.

Bài 2.33 trang 48 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) Phân tích a và b ra thừa số nguyên tố

 Do đó: a = 72 = 2³.3².

Vậy  b = 96 = 2⁵.3.

b) Ta thấy 2 và 3 là các thừa số chung của 70 và 96. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 3 và số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 nên

ƯCLN(72; 96) = 2³ . 3 = 24

ƯC(a, b) = Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

Bài 2.34 trang 48 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

a) Ta có:

50 = 2.5²;           85 = 5.17

+) Thừa số nguyên tố chung là 5 với số mũ nhỏ nhất là 1 nên ƯCLN(50, 85) = 5.  

Vậy $\large \frac{50}{85}$ chưa tối giản

=>  $\large \rightarrow \frac{50}{85}=\frac{50:5}{85:5}=\frac{10}{17}$

b) Ta có:

23 = 23;           81 = 3⁴

Nên 23 và 81 không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN(23, 81) = 1.  

=>  $\large \frac{23}{81}$ là phân số tối giản. 

Bài 2.35 trang 48 sgk toán 6/1 kết nối tri thức

+) 6 và 35

Vì 6 = 2.3; 35 = 5.7. Hai số này không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN bằng 1 nhưng 6 chia hết cho 2 nên 6 là hợp số; 35 chia hết cho 5 nên 35 là hợp số.

+) 10 và 27

Vì 10 = 2.5; 27 = 3³. Hai số này không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN bằng 1 nhưng 10 chia hết cho 2 nên 10 là hợp số; 27 chia hết cho 3 nên 27 là hợp số.

Khóa học DUO cung cấp cho các em nền tảng kiến thức vững chắc, bứt phá điểm 9+ trong mọi bài kiểm tra trên lớp.

4.2 Bài tập toán 6 chân trời sáng tạo 

Bài 1 trang 38 sgk toán 6/1 chân trời sáng tạo

a) Khẳng định a là sai vì:

Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

Suy ra ƯC(12, 24) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Do đó 8 không phải là phần tử của tập ƯC(12, 24).

b) Khẳng định b là đúng vì:

Ta có:

Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}

Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Ư(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}

Suy ra ƯC(36, 12, 48) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

Bài 2 trang 39 sgk toán 6/1 chân trời sáng tạo

a) ƯCLN(1, 16) = 1.

b) Phân tích 8 và 30 ra thừa số nguyên tố: 8 = 2³; 20 = 2².5.

Các thừa số nguyên tố chung là 2.

Lập tích các thừa số chung vừa chọn được, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó là: 2².

Vậy ƯCLN(8, 20) = 2² = 4.

c) Phân tích 84 và 156 ra thừa số nguyên tố: 84 = 2².3.7; 156 = 2².3.13.

Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3.

Lập tích các thừa số chung vừa chọn được, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó là: 2².3.

Vậy ƯCLN(84, 156) = 2².3 = 12.

d) Phân tích 16, 40 và 176 ra thừa số nguyên tố: 16 = 2⁴; 4- = 2³.5; 176 = 2⁴.11.

Các thừa số nguyên tố chung là 2.

Lập tích các thừa số chung vừa chọn được, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó là: 2³.

Vậy ƯCLN(16, 40, 176) = 2³ = 8.

Bài 3 trang 39 sgk toán 6/1 chân trời sáng tạo

a) Các ước của 6 là 1, 2, 3, 6.

Do đó ta có tập hợp A = Ư(6) = {1; 2; 3; 6}.

Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}.

Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}.

ƯC(18, 30) = {1; 2; 3; 6}.

 Nhận xét: Ta thấy tập hợp ƯC(18, 30) = {1; 2; 3; 6} nên tập hợp ƯC (18, 30) giống với tập hợp A.

Tổng quát: Cho hai số tự nhiên a và b. Để tìm tập ƯC(a,b) ta sẽ tìm ƯCLN(a, b) = m. Khi đó ƯC(a, b) = Ư(m).

b) 

i.  Phân tích 24 và 30 ra thừa số nguyên tố: 24 = 2³.3; 30 = 2.3.5.

Suy ra ƯCLN(24, 30) = 2.3 =6.

Vậy: ƯC(24, 30) = Ư(6) = {1; 2; 3; 6}.

ii. Ta phân tích các số 42 và 98 ra thừa số nguyên tố

42 = 2.3.7; 98 = 2.7²

Suy ra ƯCLN(42, 98) = 2.7 = 14.

Vậy: ƯC (42, 98) = Ư(14) = {1; 2; 7; 14}.

iii.Ta phân tích các số 180 và 234 ra thừa số nguyên tố

180 = 2².5.3²; 234 = 2.3².13

Suy ra ƯCLN(180, 234) = 2.3² = 18

Vậy: ƯC(180, 234) = Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}.

Bài 4 trang 39 sgk toán 6/1 chân trời sáng tạo

+) Ta có: 28 = 2².7; 42 = 2.3.7.

Suy ra ƯCLN(28, 42) = 14

$\large \rightarrow \frac{28}{42}=\frac{28:14}{42:14}=\frac{2}{3}$

+) Ta có: 60 = 2².3.5; 135 = 3³.5.

Suy ra ƯCLN(60, 135) = 15

$\large \rightarrow \frac{60}{135}=\frac{60:15}{135:15}=\frac{4}{9}$

+) Ta có: 288 = 2⁵.3²; 180 = 2².3².5

ƯCLN(288, 180) = 36

$\large \rightarrow \frac{288}{180}=\frac{288:36}{180:36}=\frac{8}{5}$

Bài 5 trang 39 sgk toán 6/1 chân trời sáng tạo

Bởi vì chị Lan muốn cắt cả ba đoạn dây đó thành những đoạn ngắn hơn có cùng chiều dài.

Nên độ dài lớn nhất có thể của mỗi đoạn dây ngắn được cắt ra chính là ước chung lớn nhất của 140, 168 và 210.

Ta tìm ước chung lớn nhất của 140, 168, 210:

Ta có: 140 = 2².5.7

           168 = 2³.3.7

           210 = 2.3.5.7

Suy ra ƯCLN(140, 168, 210) = 2 . 7 = 14.

Độ dài lớn nhất có thể của mỗi đoạn dây ngắn được cắt ra là: 14 cm.

- Mỗi đoạn dây khác nhau có thể cắt được số đoạn dây ngắn là:

Đoạn dây dài 140 cm cắt được: 140 : 14 = 10 (đoạn).

Đoạn dây dài 168 cm cắt được: 168 : 14 = 12 (đoạn).

Đoạn dây dài 210 cm cắt được: 210 : 14 = 15 (đoạn).

- Số đoạn dây ruy băng ngắn chị Lan có được là:

10 + 12 + 15 = 37 (đoạn dây).

Kết luận: Chị Lan có được tổng cộng 37 đoạn dây ruy băng ngắn sau khi cắt với độ dài mỗi đoạn là 14 cm. 

4.3 Bài tập toán 6 cánh diều 

Bài 1 trang 51 sgk toán 6/1 cánh diều

Số 1 là ước chung của hai số tự nhiên bất kì vì tất cả các số tự nhiên đều có ước là 1.

Bài 2 trang 51 sgk toán 6/1 cánh diều

a) Quan sát hình vẽ ta thấy

+ Các ước của 440 là: 1; 2; 4; 5; 8; 10; 11; 20; 22; 40; 44; 55; 88; 110; 220; 440

+ Các ước của 495 là: 1; 3; 5; 9; 11; 15; 33; 45; 55; 99; 165; 495

+ Các ước chung của 440 và 495 là: 1; 5; 11; 55.

Vậy ƯC(440, 495) = {1; 5; 11; 55}.

b) Trong các ước chung của 440 và 495, ta thấy 55 là số lớn nhất. 

Vậy ƯCLN(440, 495) = 55.

Bài 3 trang 51 sgk toán 6/1 cánh diều

a) + Ta có: 31 là số nguyên tố nên nó chỉ có hai ước là 1 và 31. 

22 và 34 không chia hết cho 31 

Do đó ta có: ƯCLN(31, 22) = 1 và ƯCLN(31, 34) = 1.

+ Ta còn phải tìm ƯCLN(22, 34), ta phân tích các số 22 và 34 ra thừa số nguyên tố ta được: 22 = 2 . 11; 34 = 2 . 17. 

Khi đó thừa số nguyên tố chung của 22 và 34 là 2 với số mũ nhỏ nhất là 1.

Vậy ƯCLN( 22, 34) = 2. 

b) Ta phân tích các số 105; 128; 135 ra thừa số nguyên tố, ta có: 

Do đó: 105 = 3 . 5 . 7

128 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2⁷

135 = 3 . 3 . 3 . 5 = 3³ . 5 

+ Hai số 105 và 128 không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN(105, 128) = 1. 

+ Hai số 128 và 135 không có thừa số nguyên tố chung nên ƯCLN(128, 135) = 1. 

+ Hai số 105 và 135 có các thừa số nguyên tố chung là 3 và 5. 

Số 3 có số mũ nhỏ nhất là 1; số 5 có số mũ nhỏ nhất là 1. 

Do đó: ƯCLN(105, 135) = 3¹ . 5¹ = 3 . 5 = 15

Vậy ƯCLN(105, 128) = 1; ƯCLN(128, 135) = 1 và ƯCLN(105, 135) = 15. 

Bài 4 trang 51 sgk toán 6/1 cánh diều

Do đó: 126 = 2 . 3 . 3 . 7 = 2 . 3² . 7

150 = 2 . 3 . 5 . 5 = 2 . 3 . 5²

Các thừa số nguyên tố chung của 126 và 150 là 2 và 3

Số 2 có số mũ nhỏ nhất là 1; số 3 có số mũ nhỏ nhất là 1.

Do đó: ƯCLN(126, 150) = 2¹ . 3¹ = 2 . 3 = 6 

Lại có 6 có các ước là 1; 2; 3; 6

Ước chung của 126 và 150 là ước của ƯCLN(126, 150) là 1; 2; 3; 6

Hay ƯC(126, 150) = {1; 2; 3; 6} 

Vậy ƯCLN(126, 150) = 6; ƯC(126, 150) = {1; 2; 3; 6}. 

Bài 5 trang 51 sgk toán 6/1 cánh diều

Rút gọn phân số $\large \frac{60}{72}$

Do đó: 60 = 2² . 3 . 5 và 72 = 2³ . 3²

Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3, số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1

Suy ra ƯCLN(60, 72) = 2² . 3¹ = 4 . 3 = 12 

 $\large \rightarrow \frac{60}{72}=\frac{60:12}{72:12}=\frac{5}{6}$

Rút gọn phân số $\large \frac{70}{95}$

Ta có: 70 = 7 . 10 = 7 . (2 . 5) = 2 . 5 . 7

95 = 5 . 19 

Thừa số nguyên tố chung là 5, có số mũ nhỏ nhất là 1

Khi đó: ƯCLN(70, 95) = 5¹ = 5

 $\large \rightarrow \frac{70}{95}=\frac{70:5}{95:5}=\frac{14}{19}$

Rút gọn phân số $\large \frac{150}{360}$

Do đó: 150 = 2 . 3 . 5²

360 = 2 . 5 . 2 . 2 . 3 . 3 = 2³ . 3² . 5

Các thừa số nguyên tố chung là 2, 3 và 5

Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1, số mũ nhỏ nhất của 5 là 1

Nên ƯCLN(150, 360) = 2 . 3. 5 = 30 

$\large \rightarrow \frac{150}{360}=\frac{150:30}{360:30}=\frac{5}{12}$

Bài 6 trang 51 sgk toán 6/1 cánh diều

Ta thấy phân số $\large \frac{4}{9}$ là phân số tối giản, còn các phân số $\large \frac{48}{108}$; $\large \frac{80}{180}$; $\large \frac{60}{130}$; $\large \frac{135}{270}$ chưa tối giản. Để xác định, phân số $\large \frac{4}{9}$ bằng các phân số nào, ta cần rút gọn các phân số chưa tối giản rồi so sánh. 

- Rút gọn phân số $\large \frac{48}{108}$

 Ta có: 48 = 3 . 16 = 3 . 2⁴; 108 = 4 . 27 = 2² . 3³ 

Các thừa số nguyên tố chung là 2, 3 và số mũ nhỏ nhất của 2 là 2; số mũ nhỏ nhất của 3 là 1.  

Nên ƯCLN(48, 108) = 2² . 3 = 12.

$\large \rightarrow \frac{48}{108}=\frac{48:12}{108:12}=\frac{4}{9}$

- Rút gọn phân số $\large \frac{80}{180}$

 Ta có: 80 = 8 . 10 = 2³ . (2 . 5) = 2⁴ . 5

180 = 10 . 18 = (2 . 5) .(2 . 3 . 3) = 2² . 3² . 5 

Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 5; Số 2 có số mũ nhỏ nhất là 2, số 5 có số mũ nhỏ nhất là 1.

Nên ƯCLN(80, 180) = 2² . 5 = 20

$\large \rightarrow \frac{80}{180}=\frac{80:20}{180:20}=\frac{4}{9}$

- Rút gọn phân số $\large \frac{60}{130}$

Ta có: 60 = 6 . 10 = (2. 3) . (2 . 5) = 2² . 3 . 5

130 = 10 . 13 = 2 . 5 . 13 

Các thừa số nguyên tố chung là 2 và 5, số 2 và số 5 đều có số mũ nhỏ nhất là 1.

Nên ƯCLN(60, 130) = 2 . 5 = 10 

$\large \rightarrow \frac{60}{130}=\frac{60:10}{130:10}=\frac{6}{13}\neq \frac{4}{9}$

- Rút gọn phân số $\large \frac{135}{270}$

+ Ta có: 135 = 5 . 27 = 5 . 3³; 270 = 10 . 27 = (2 . 5) .3³ = 2 . 3³ . 5

Các thừa số nguyên tố chung là 3 và 5. Số 3 có số mũ nhỏ nhất là 3 và 5 có số mũ nhỏ nhất là 1.

Nên ƯCLN(135, 270) = 3³. 5 = 135 

$\large \rightarrow \frac{135}{270}=\frac{135:135}{270:135}=\frac{1}{2}\neq \frac{4}{9}$

Bài 7 trang 51 sgk toán 6/1 cánh diều

Giả sử a là số đội chơi được chia. ($\large a\in \mathbb{N^{*}}$)

 Vì a là lớn nhất (phải chia nhiều đội nhất) và số bạn nam cũng như số bạn nữ được chia đều vào các đội nên khi đó a là ước chung lớn nhất của 24 và 30. 

Ta có: 24 = 3 . 8 = 3 . 2³ ; 30 = 3 . 10 = 3 . 2 . 5 

(Các thừa số chung là 2; 3 và đều có số mũ nhỏ nhất là 1)

Khi đó: ƯCLN(24, 30) = 2 . 3 = 6 hay a = 6. 

Vậy có thể chia các bạn nhiều nhất thành 6 đội. 

Bài 8 trang 51 sgk toán 6/1 cánh diều

Gọi: a là số cách chia mảnh đất thành các mảnh hình vuông bằng nhau 

b (m) là độ dài cạnh của mảnh đất hình vuông được chia theo cách chia lớn nhất $\large a,b\in \mathbb{N^{*}}$

Theo yêu cầu bài ra thì khi đó: 

+ a là số các ước chung của 48 và 42

+ b là ước chung lớn nhất của 48 và 42

Ta có: 42 = 2 . 21 = 2 . 3 . 7 

48 = 16 . 3 = 2⁴ . 3

Do đó: ƯCLN(42, 48) = 2 . 3 = 6 hay b = 6 m 

Mà Ư(6) = {1; 2; 3; 6) Nên ƯC(42, 48) = {1; 2; 3; 6}

Do đó có 4 ước chung của 42 và 48 hay a = 4.

Vậy:

+ Số cách chia thành những mảnh hình vuông bằng nhau là 4 cách.

+ Với cách chia có độ dài cạnh là 6m thì cạnh của mảnh đất hình vuông là lớn nhất. 

 

 

 

Trên đây là bài học về Lý thuyết ước chung và ước chung lớn nhất toán 6, qua bài học này, hy vọng các em vận dụng được kiến thức về ước chung để vận dụng giải các bài tập liên quan. Để làm quen với chương trình toán 6, các em có thể tham khảo khóa học DUO của nhà trường VUIHOC, học online cùng các thầy cô và xây dựng lộ trình học cá nhân ngay từ sớm nhé!  

>> Mời bạn tham khảo thêm: 

• Quan hệ chia hết và tính chất
• Dấu hiệu chia hết
• Số nguyên tố