Phép cộng và phép trừ đa thức một biến| Toán 7 chương trình mới

Tác giả Hoàng Uyên 15:15 21/06/2024 1,729 Tag Lớp 7

Phép cộng và phép trừ đa thức một biến bao gồm những tính chất nào và cách vận dụng các tính chất của chúng trong tính toán có gì khác với cộng trừ thông thường không? Theo dõi bài viết để hiểu rõ hơn về phép cộng và phép trừ đa thức một biến nhé.

Phép cộng và phép trừ đa thức một biến| Toán 7 chương trình mới

Mục lục bài viết

Mục lục bài viết x

1. Phép cộng và phép trừ đa thức một biến toán 7

1.1 Cộng hai đa thức một biến

- Để cộng hai đa thức một biến (theo cột dọc), ta có thể làm như sau:

Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột;
Cộng hai đơn thức trong từng cột, ta có tổng cần tìm.

- Ví dụ: Tính tổng của hai đa thức: P(x) = 5x³ + 2x² + 3x + 1 và Q(x) = 2x³ - 4x² + 2x + 2

- Chú ý: Khi cộng đa thức theo cột dọc, nếu một đa thức khuyết số mũ nào của biến thì khi viết đa thức đó, ta bỏ trống cột tương ứng với số mũ trên.

- Để cộng hai đa thức một biến (theo hàng ngang), ta có thể làm như sau:

Viết tổng hai đa thức theo hàng ngang;
Nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;
Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng cần tìm.

- Ví dụ: Tính tổng của hai đa thức: P(x) = 5x³ + 2x² + 3x + 1 và Q(x) = 2x³ - 4x² + 2x + 2

P(x) + Q(x) = (5x³ + 2x² + 3x + 1) + (2x³ - 4x² + 2x + 2)

= 5x³ + 2x² + 3x + 1 + 2x³ - 4x² + 2x + 2

= (5x³ + 2x³) + (2x² - 4x²) + (3x + 2x) + (1 + 2)

= 7x³ - 2x² + 5x + 3

1.2 Trừ hai đa thức một biến

- Để trừ hai đa thức P(x) - Q(x) (theo cột dọc), ta có thể làm như sau:

Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức ở đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột;
Trừ hai đơn thức trong từng cột, ta có hiệu cần tìm.

- Ví dụ: Cho hai đa thức: P(x) = 6x³ - 2x² - 3x + 1 và Q(x) = 3x³ - 4x² + 2x - 2. Tính hiệu P(x) - Q(x).

- Để trừ hai đa thức P(x) - Q(x) theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
Viết hiệu P(x) - Q(x) theo hàng ngang, trong đó đa thức Q(x) được đặt trong dấu ngoặc;
Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức trong dạng thu gọn của đa thức Q(x), nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;
Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được hiệu cần tìm.

- Ví dụ: Cho hai đa thức: P(x) = 6x³ - 2x² - 3x + 1 và Q(x) = 3x³ - 4x² + 2x - 2. Tính hiệu P(x) - Q(x).

Lời giải: P(x) - Q(x) = (6x³ - 2x² - 3x + 1) - (3x³ - 4x² + 2x - 2)

= 6x³ - 2x² - 3x + 1 - 3x³ + 4x² - 2x + 2

= (6x³ - 3x³) - ( 2x² - 4x²) - (3x + 2x) +(1 + 2)

= 3x³ + 2x² - 5x + 3

Khóa học DUO dành riêng cho các em bậc THCS từ nhà trường VUIHOC, các em sẽ được học cùng các thầy cô TOP trường điểm quốc gia với kinh nghiệm giảng dạy phong phú. Đăng ký học thử để được trải nghiệm buổi học trực tuyến hoàn toàn miễn phí nhé!

2. Bài tập về phép cộng và phép trừ đa thức một biến toán 7

2.1 Bài tập về phép cộng và phép trừ đa thức một biến toán 7 kết nối tri thức

Bài 7.12 trang 33 SGK Toán 7/2 kết nối tri thức

(x² - 3x + 2) + (4x³ - x² + x - 1)

= x² - 3x + 2 + 4x³ - x² + x - 1

= 4x³ + (x² - x²) + (-3x + x) + (2 - 1)

= 4x³ + (-2x) + 1

= 4x³ - 2x + 1.

Bài 7.13 trang 33 SGK Toán 7/2 kết nối tri thức

Đặt phép tính ta được:

Vậy (-x³ - 5x + 2) - (3x + 8) = -x³ - 8x - 6.

Bài 7.14 trang 33 SGK Toán 7/2 kết nối tri thức

A + B = (6x⁴ - 4x³ + x - 1/3) + (-3x⁴ - 2x³ - 5x² + x + 2/3)

A + B = 6x⁴ - 4x³ + x - 1/3+ (-3x⁴) - 2x³ - 5x² + x + 2/3

A + B = (6x⁴ - 3x⁴) + (-4x³ - 2x³) - 5x² + (x + x) + (2/3−1/3)

A + B = 3x⁴ + (-6x³) - 5x² + 2x + 1/3

A + B = 3x⁴ - 6x³ - 5x² + 2x + 1/3

A - B = (6x⁴ - 4x³ + x - 1/3) - (-3x⁴ - 2x³ - 5x² + x + 2/3)

A - B = 6x⁴ - 4x³ + x - 1/3 + 3x⁴ + 2x³ + 5x² - x - 2/3

A - B = (6x⁴ + 3x⁴) + (-4x³ + 2x³) + 5x² + (x - x) + (−1/3−2/3)

A - B = 9x⁴ + (-2x³) + 5x² + (-1)

A - B = 9x⁴ - 2x³ + 5x² - 1

Vậy A + B = 3x⁴ - 6x³ - 5x² + 2x + 1/3

A - B = 9x⁴ - 2x³ + 5x² - 1.

Bài 7.15 trang 33 SGK Toán 7/2 kết nối tri thức

A + B + C = (3x⁴ - 2x³ - x + 1) + (-2x³ + 4x² + 5x) + (-3x⁴ + 2x² + 5)

A + B + C = 3x⁴ - 2x³ - x + 1 + (-2x³) + 4x² + 5x + (-3x⁴) + 2x² + 5

A + B + C = (3x⁴ - 3x⁴) + (-2x³ - 2x³) + (4x² + 2x²) + (-x + 5x) + (1 + 5)

A + B + C = -4x³ + 6x² + 4x + 6.

A - B + C = (3x⁴ - 2x³ - x + 1) - (-2x³ + 4x² + 5x) + (-3x⁴ + 2x² + 5)

A - B + C = 3x⁴ - 2x³ - x + 1 + 2x³ - 4x² - 5x - 3x⁴ + 2x² + 5

A - B + C = (3x⁴ - 3x⁴) + (-2x³ + 2x³) + (-4x² + 2x²) + (-x - 5x) + (1 + 5)

A - B + C = -2x² + (-6x) + 6

A - B + C = -2x² - 6x + 6.

A - B - C = (3x⁴ - 2x³ - x + 1) - (-2x³ + 4x² + 5x) - (-3x⁴ + 2x² + 5)

A - B - C = 3x⁴ - 2x³ - x + 1 + 2x³ - 4x² - 5x + 3x⁴ - 2x² - 5

A - B - C = (3x⁴ + 3x⁴) + (-2x³ + 2x³) + (-4x² - 2x²) + (-x - 5x) + (1 - 5)

A - B - C = 6x⁴ + (-6x²) + (-6x) + (-4)

A - B - C = 6x⁴ - 6x² - 6x - 4.

Vậy A + B + C = -4x³ + 6x² + 4x + 6; A - B + C = -2x² - 6x + 6;

A - B - C = 6x⁴ - 6x² - 6x - 4.

Bài 7.16 trang 33 SGK Toán 7/2 kết nối tri thức

a) Số tiền Nam phải trả để mua sách khoa học là 21 500.x đồng.

Số tiền Nam phải trả để mua sách tham khảo là 12 500.(x + 8) đồng.

Số tiền Nam phải trả để mua truyện tranh là 15 000.(x + 5) đồng.

b) Tổng số tiền Nam phải trả để mua số sách là:

21 500x + 12 500(x + 8) + 15 000(x + 5)

= 21 500x + 12 500x + 12 500.8 + 15 000x + 15 000.5

= (21 500x + 12 500x + 15 000x) + 100 000 + 75 000

= 49 000x + 175 000 đồng.

Vậy đa thức biểu thị tổng số tiền Nam phải trả là 49 000x + 175 000.

Bài 7.17 trang 33 SGK Toán 7/2 kết nối tri thức

a) Do chiều dài của bể bơi gấp 3 lần chiều rộng nên chiều dài của bể bơi là 3x m.

Diện tích của bể bơi là 3x.x = 3x² (m²).

b) Chiều rộng của mảnh đất là: 4 + x + 5 = x + 9 (m).

Diện tích mảnh đất là: 65(x + 9) (m²).

c) Diện tích phần đất xung quanh bể bơi bằng diện tích mảnh đất trừ đi diện tích bể bơi.

Diện tích phần đất xung quanh bể bơi bằng:

65(x + 9) - 3x² = 65x + 65.9 - 3x² = -3x² + 65x + 585 (m²).

2.2 Bài tập về phép cộng và phép trừ đa thức một biến toán 7 cánh diều

Bài 1 trang 59 SGK Toán 7/2 cánh diều

a) R(x) + S(x) = (-8x⁴ + 6x³ + 2x² - 5x + 1) + (x⁴ - 8x³ + 2x + 3)

= -8x⁴ + 6x³ + 2x² - 5x + 1 + x⁴ - 8x³ + 2x + 3

= (-8x⁴ + x⁴) + (6x³ - 8x³) + 2x² + (-5x + 2x) + (1 + 3)

= -7x⁴ - 2x³ + 2x² - 3x + 4.

Vậy R(x) + S(x) = -7x⁴ - 2x³ + 2x² - 3x + 4.

b) R(x) - S(x) = (-8x⁴ + 6x³ + 2x² - 5x + 1) - (x⁴ - 8x³ + 2x + 3)

= -8x⁴ + 6x³ + 2x² - 5x + 1 - x⁴ + 8x³ - 2x - 3

= (-8x⁴ - x⁴) + (6x³ + 8x³) + 2x² + (-5x - 2x) + (1 - 3)

= -9x⁴ + 14x³ + 2x² - 7x - 2

Vậy R(x) - S(x) = -9x⁴ + 14x³ + 2x² - 7x - 2.

Bài 2 trang 59 SGK Toán 7/2 cánh diều

Ta có:

A(x) + B(x) = -8x⁵ + 6x⁴ + 2x² - 5x + 1 + 8x⁵ + 8x³ + 2x - 3

= (-8x⁵ + 8x⁵) + 6x⁴ + 8x³ + 2x² + (-5x + 2x) + (1 - 3)

= 6x⁴ + 8x³ + 2x² - 3x - 2

A(x) - B(x) = -8x⁵ + 6x⁴ + 2x² - 5x + 1 - (8x⁵ + 8x³ + 2x - 3)

= -8x⁵ + 6x⁴ + 2x² - 5x + 1 - 8x⁵ - 8x³ - 2x + 3

= (-8x⁵ - 8x⁵) + 6x⁴ - 8x³ + 2x² + (-5x - 2x) + (1 + 3)

= -16x⁵ + 6x⁴ - 8x³ + 2x² - 7x + 4

Bài 3 trang 59 SGK Toán 7/2 cánh diều

a) Tiền lãi bác Ngọc nhận được ở ngân hàng thứ hai là:

$\large 80.(x+1,5)%=80.\frac{x+1,5}{100}=\frac{4}{5}(x+1,5)$ (triệu đồng).

b) Tiền lãi bác Ngọc nhận được ở ngân hàng thứ nhất là:

$\large 90.x%=90.\frac{x}{100}=\frac{9}{10}x$ (triệu đồng).

Tiền lãi bác Ngọc nhận được ở cả hai ngân hàng là:

$\large \frac{4}{5}(x+1,5)+\frac{9}{10}x=\frac{4}{5}x+\frac{6}{5}+\frac{9}{10}x=\left ( \frac{4}{5}x+\frac{9}{10}x \right )+\frac{6}{5}=\frac{17}{10}x+\frac{6}{5}$ ( triệu đồng)

Duy nhất khóa học DUO tại VUIHOC dành riêng cho cấp THCS, các em sẽ được học tập cùng các thầy cô đến từ top 5 trường chuyên toàn quốc. Nhanh tay đăng ký thôi !!!!

Bài 4 trang 59 SGK Toán 7/2 cánh diều

Thể tích nước trong can ban đầu là 10 lít = 10 dm³.

Thể tích nước trong bể khi mực nước có chiều cao h (cm) là:

20 . 20 . h = 400h (cm³).

Đổi 400h cm³ = 0,4h dm³.

Thể tích nước trong bể bằng thể tích nước trong can rót ra nên thể tích nước còn lại trong can là: 10 - 0,4h (dm³).

Bài 5 trang 59 SGK Toán 7/2 cánh diều

Minh và Quân nói như vậy là không đúng do tổng hoặc hiệu của hai đa thức bậc bốn có thể không phải là đa thức bậc bốn.

Chẳng hạn:

A(x) = x⁴ + 1; B(x) = -x⁴ + x³; C(x) = x⁴.

Khi đó A(x) + B(x) = x⁴ + 1 + (-x⁴ + x³) = x⁴ + 1 - x⁴ + x³ = (x⁴ - x⁴) + x³ + 1 = x³ + 1 là đa thức bậc ba.

A(x) - C(x) = x⁴ + 1 - x⁴ = (x⁴ - x⁴) + 1 = 1 là đa thức bậc không.

2.3 Bài tập về phép cộng và phép trừ đa thức một biến toán 7 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 35 SGK Toán 7/2 Chân trời sáng tạo

P(x) + Q(x) = (-3x⁴ - 8x² + 2x) + (5x³ - 3x² + 4x - 6)

P(x) + Q(x) = -3x⁴ - 8x² + 2x + 5x³ - 3x² + 4x - 6

P(x) + Q(x) = -3x⁴ + 5x³ + (-8x² - 3x²) + (2x + 4x) - 6

P(x) + Q(x) = -3x⁴ + 5x³ - 11x² + 6x - 6

P(x) - Q(x) = (-3x⁴ - 8x² + 2x) - (5x³ - 3x² + 4x - 6)

P(x) - Q(x) = -3x⁴ - 8x² + 2x - 5x³ + 3x² - 4x + 6

P(x) - Q(x) = -3x⁴ - 5x³ + (-8x² + 3x²) + (2x - 4x) + 6

P(x) - Q(x) = -3x⁴ - 5x³ - 5x² - 2x + 6

Vậy P(x) + Q(x) = -3x⁴ + 5x³ - 11x² + 6x - 6; P(x) - Q(x) = -3x⁴ - 5x³ - 5x² - 2x + 6.

Bài 2 trang 35 SGK Toán 7/2 Chân trời sáng tạo

Do M(x) + N(x) = 3x² - 2x nên N(x) = 3x² - 2x - M(x)

N(x) = 3x² - 2x - (7x³ - 2x² + 8x + 4)

N(x) = 3x² - 2x - 7x³ + 2x² - 8x - 4

N(x) = -7x³ + (3x² + 2x²) + (-2x - 8x) - 4

N(x) = -7x³ + 5x² - 10x - 4

Vậy N(x) = -7x³ + 5x² - 10x - 4.

Bài 3 trang 36 SGK Toán 7/2 Chân trời sáng tạo

Do B(y) - A(y) = 2y³ - 9y² + 4y nên B(y) = A(y) + 2y³ - 9y² + 4y

B(y) = (-5y⁴ - 4y² + 2y + 7) + 2y³ - 9y² + 4y

B(y) = -5y⁴ - 4y² + 2y + 7 + 2y³ - 9y² + 4y

B(y) = -5y⁴ + 2y³ + (-4y² - 9y²) + (2y + 4y) + 7

B(y) = -5y⁴ + 2y³ -13y² + 6y + 7

Vậy B(y) = -5y⁴ + 2y³ -13y² + 6y + 7.

Bài 4 trang 36 SGK Toán 7/2 Chân trời sáng tạo

Biểu thức biểu thị chu vi của hình thang cân là:

8x + 4x + 1 + 15x - 6 + 4x + 1

= (8x + 4x + 15x + 4x) + (1 - 6 + 1)

= 31x - 4

Vậy biểu thức biểu thị chu vi của hình thang cân là 31x - 4.

Bài 5 trang 36 SGK Toán 7/2 Chân trời sáng tạo

Độ dài cạnh còn lại của tam giác bằng:

12t - 3 - (3t + 8) - (4t - 7)

= 12t - 3 - 3t - 8 - 4t + 7

= (12t - 3t - 4t) + (-3 - 8 + 7)

= 5t - 4

Bài 6 trang 36 SGK Toán 7/2 Chân trời sáng tạo

P(x) + Q(x) + R(x) = (9x⁴ - 3x³ + 5x - 1) + (-2x³ - 5x² + 3x - 8) + (-2x⁴ + 4x² + 2x - 10)

= 9x⁴ - 3x³ + 5x - 1 - 2x³ - 5x² + 3x - 8 - 2x⁴ + 4x² + 2x - 10

= (9x⁴ - 2x⁴) + (-3x³ - 2x³) + (-5x² + 4x²) + (5x + 3x + 2x) + (-1 - 8 - 10)

= 7x⁴ - 5x³ - x² + 10x - 19

P(x) - Q(x) - R(x) = (9x⁴ - 3x³ + 5x - 1) - (-2x³ - 5x² + 3x - 8) - (-2x⁴ + 4x² + 2x - 10)

= 9x⁴ - 3x³ + 5x - 1 + 2x³ + 5x² - 3x + 8 + 2x⁴ - 4x² - 2x + 10

= (9x⁴ + 2x⁴) + (-3x³ + 2x³) + (5x² - 4x²) + (5x - 3x - 2x) + (-1 + 8 + 10)

= 11x⁴ - x³ + x² + 17

Bài 7 trang 36 SGK Toán 7/2 Chân trời sáng tạo

Đặt A(x) = x⁴ + x³ - 4x².

Khi đó P(x) = A(x) + B(x).

Suy ra B(x) = P(x) - A(x)

B(x) = (x³ - 4x² + 8x - 2) - (x⁴ + x³ - 4x²)

B(x) = x³ - 4x² + 8x - 2 - x⁴ - x³ + 4x²

B(x) = -x⁴ + (x³ - x³) + (-4x² + 4x²) + 8x - 2

B(x) = -x⁴ + 8x - 2.

Vậy P(x) = (x⁴ + x³ - 4x²) + (-x⁴ + 8x - 2).

Bài 8 trang 36 SGK Toán 7/2 Chân trời sáng tạo

Biểu thức biểu thị diện tích hình vuông là: 2x . 2x = 4x².

Biểu thức biểu thị diện tích hình chữ nhật là: 3x.

Biểu thức biểu thị diện tích của phần được tô màu xanh là: 4x² - 3x.

Bài 9 trang 36 SGK Toán 7/2 Chân trời sáng tạo

a) (3x - 1) + [(2x² + 5x) + (4 - 3x)]

= 3x - 1 + 2x² + 5x + 4 - 3x

= 2x² + (3x + 5x - 3x) + (-1 + 4)

= 2x² + 5x + 3

b) Do A + B = C nên B = C - A

B = 5 - 3x² - (4x + 2)

B = 5 - 3x² - 4x - 2

B = -3x² - 4x + (5 - 2)

B = -3x² - 4x + 3

Vậy B = -3x² - 4x + 3.

HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN TOP 5 TRƯỜNG ĐIỂM QUỐC GIA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học cá nhân hóa, giúp con tăng 3 - 6 điểm chỉ sau 1 khóa học

⭐ Học chắc - ôn kỹ, tăng khả năng đỗ vào các trường chuyên cấp 2, cấp 3

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo mong muốn và thời gian biểu cá nhân

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô, hỗ trợ con 24/7

⭐ Học lý thuyết đi đôi với thực hành, kết hợp chơi và học giúp con học hiệu quả

⭐ Công nghệ AI cảnh báo học tập tân tiến, giúp con tập trung học tập

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập được biên soạn bởi các thầy cô TOP 5 trường điểm quốc gia

Trải nghiệm khóa học DUO hoàn toàn miễn phí ngay!!

Trên đây là những kiến thức về bài học Phép cộng và phép trừ đa thức một biến trong chương trình toán lớp 7. Qua bài học, các em đã biết được về cách thực hiện phép tính cộng, trừ hai đa thức một biến. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán THCS hiệu quả nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm: